今天来讨论一个很基础的算法问题，数列的最大子列和问题。这道题我是在看浙大陈姥姥的Mooc的时候看到的，算是陈越老师作为算法与数据结构开篇讲解的第一道算法实例题。
那么今天我就来记录一下分析这道题的过程。
常用方法
首先，最大子列和这个问题有一个众所周知的办法，即为每次从数列的开头i，往结尾N累加，当加至结尾时，由i+1再次累加，直到N-N。这样的算法用三个变量三层循环来分别代表从头至尾的遍历，以及从i - N的前进继续累加，最后一层是累加的和。算法可以写成下面这样：
public static int MaxSubseqSum1(int[] A, int N) {
int ThisSum, MaxSum = 0;
int i, j, k;
for (i = 0; i < N; i++) {
for (j = i; j < N; j++) {
ThisSum = 0;
for (k = i; k <= j; k++) {
ThisSum += A[k];
}
if (ThisSum > MaxSum) {
MaxSum = ThisSum;
}
}
}
return MaxSum;
}
上面的第一种方法应该非常好理解，而由于是三层循环，所以，这个算法的时间复杂度是T(N) = O(N^3)。这种时间复杂度的算法，是非常的低效的，并且我们作为一个有追求的程序员，看到一个时间复杂度上有平方以上指数的，必须要考虑的是降次。
那么其实，第一种算法，如果我们仔细思考，那么可以发现它最里面的一层，k循环是一个很愚蠢的行为，因为我们可以直接在第二层循环里完成累加，于是，我们可以写一个稍微简单的算法。
public static int MaxSubseqSum2(int[] A, int N) {
int ThisSum;
int MaxSum = 0;
int i, j;
for (i = 0; i < N; i++) {
ThisSum = 0;
for (j = i; j < N; j++) {
ThisSum += A[j];
if (ThisSum > MaxSum) {
MaxSum = ThisSum;
}
}
}
return MaxSum;
}
而这个去了一个循环的算法，时间复杂度也一目了然，T(N) = O(N^2),但是时间复杂度依旧还有2次方。接下来还有什么更好的办法么？
分治法
在这里我们介绍一种方法叫分治法，分而治之。这个方法的思想是，先把数列切割成左右两个部分，接下来，递归的把数列不断切割为两份，直到最小单位为一个元素。而这时，分别去求他们的子列和，并且在求算左半边和右半边的子列和之后，把跨越二分边界的子列和也求解出来。比较左半边的最大子列和，以及右半边的最大子列和，以及跨越边界的最大子列和。取出最大的那个数，即为整个数列的最大子列和。
这是一种很常用的算法思想，可以先看代码来理解一下。
/**
* 分治法，保持API一致
* @param A 求解数列
* @param N 元素总数
* @return
*/
public static int MaxSubseqSum3(int[] A, int N) {
return DivideAndConquer(A, 0, N-1);
}
/**
* 分治法主体
* @param List 求解数列
* @param left 左半边的下标
* @param right 右半边的下标
* @return 所求数列的最大子列和
*/
public static int DivideAndConquer(int[] List, int left, int right) {
int MaxLeftSum, MaxRightSum;
int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum;
int LeftBorderSum, RightBorderSum;
int center, i;
if (left == right) {
if (List[left] > 0) {
return List[left];
} else {
return 0;
}
}
center = (left + right) / 2;
//分解数列 不断递归调用
MaxLeftSum = DivideAndConquer(List, left, center);
MaxRightSum = DivideAndConquer(List, center + 1, right);
//分别结算左右两边的跨越边界的和
MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
for (i = center; i >= left; i--) {
LeftBorderSum += List[i];
if (LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum) {
MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
}
}
MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
for (i = center + 1; i <= right; i++) {
RightBorderSum += List[i];
if (RightBorderSum > MaxLeftBorderSum) {
MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
}
}
return Max3(MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum);
}
/**
* 取三个数中的最大值
* @return int
*/
private static int Max3(int A, int B, int C) {
return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}
而分治法的时间复杂度，是
T(1) = O(1)
T (N) = 2T(N/2) + cN
= 2 [2T( N/22 ) + cN/2] + cN
= 2kO(1) + ckN
= O(NlogN )
现在我们可以看到，这个问题我们已经完成我们的降次目标了。那么还有更好的算法么？
在线处理
这个问题有个最简单的算法，叫在线处理法，遍历数列的时候，顺便累加，每次累加的和若是小于0，那么我们可以认为最大子列和为负数时，一定不会让后面的部分增大了，所以就可以把它丢弃，重新置当前的sum = 0。
代码如下:
public static int MaxSubseqSum4(int[] A, int N) {
int ThisSum, MaxSum;
int i;
ThisSum = MaxSum = 0;
for (i = 0; i < N; i++) {
ThisSum += A[i];
if (ThisSum > MaxSum) {
MaxSum = ThisSum;
} else if (ThisSum < 0) {
ThisSum = 0;
}
}
return MaxSum;
}
在线处理的时间复杂度，因为是只遍历一遍，所以为T(N) = O(N)。 那么说了这么多，我们需要让事实来说话，我们现在准备一个30个元素的队列，让每个算法跑100000次来观察所需时间。
public static void main(String[] args) {
int size = 31;
int[] testArr = {3, -1, 5, 10, -8, 2, 1, 4, 0, 7, -5, -6, 3, -8, -10,
10, -20, -8, 0, 3, 0, -9, -10, 5, 3, 0, -8, 10, -4, 10, -7};
int runCount = 100000;
testFunction1(testArr, size, runCount);
testFunction2(testArr, size, runCount);
testFunction3(testArr, size, runCount);
testFunction4(testArr, size, runCount);
}
最后的log输出是这样的:
Max Subsequence Sum 1 is 23
function1 run time is 738ms
Max Subsequence Sum 2 is 23
function2 run time is 44ms
Max Subsequence Sum 3 is 17
function3 run time is 110ms
Max Subsequence Sum 4 is 17
function4 run time is 54ms
上面的function的标号，对应上面的4种方法，可以看到，如果我们真的用了第一种笨办法，那么他和高效算法之间的效率差距，实在是太大了。
算法的学习还要继续，多看书，多做题。那么我们下次再分享了。